P1955 [NOI2015] 程序自动分析

题目描述

在实现程序自动分析的过程中，常常需要判定一些约束条件是否能被同时满足。

考虑一个约束满足问题的简化版本：假设 $x_1,x_2,x_3,\cdots$ 代表程序中出现的变量，给定 $n$ 个形如 $x_i=x_j$ 或 $x_i\neq x_j$ 的变量相等/不等的约束条件，请判定是否可以分别为每一个变量赋予恰当的值，使得上述所有约束条件同时被满足。例如，一个问题中的约束条件为：$x_1=x_2,x_2=x_3,x_3=x_4,x_4\neq x_1$，这些约束条件显然是不可能同时被满足的，因此这个问题应判定为不可被满足。

现在给出一些约束满足问题，请分别对它们进行判定。

输入格式

输入的第一行包含一个正整数 $t$，表示需要判定的问题个数。注意这些问题之间是相互独立的。

对于每个问题，包含若干行：

第一行包含一个正整数 $n$，表示该问题中需要被满足的约束条件个数。接下来 $n$ 行，每行包括三个整数 $i,j,e$，描述一个相等/不等的约束条件，相邻整数之间用单个空格隔开。若 $e=1$，则该约束条件为 $x_i=x_j$。若$e=0$，则该约束条件为 $x_i\neq x_j$。

输出格式

输出包括 $t$ 行。

输出文件的第 $k$ 行输出一个字符串 YES 或者 NO（字母全部大写），YES 表示输入中的第 $k$ 个问题判定为可以被满足，NO 表示不可被满足。

输入输出样例 #1

输入 #1

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6
7
2
2
1 2 1
1 2 0
2
1 2 1
2 1 1

输出 #1

1
2
NO
YES

输入输出样例 #2

输入 #2

1
2
3
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5
6
7
8
9
10
2
3
1 2 1
2 3 1
3 1 1
4
1 2 1
2 3 1
3 4 1
1 4 0

输出 #2

1
2
YES
NO

说明/提示

【样例解释1】

在第一个问题中，约束条件为：$x_1=x_2,x_1\neq x_2$。这两个约束条件互相矛盾，因此不可被同时满足。

在第二个问题中，约束条件为：$x_1=x_2,x_1 = x_2$。这两个约束条件是等价的，可以被同时满足。

【样例说明2】

在第一个问题中，约束条件有三个：$x_1=x_2,x_2= x_3,x_3=x_1$。只需赋值使得 $x_1=x_2=x_3$，即可同时满足所有的约束条件。

在第二个问题中，约束条件有四个：$x_1=x_2,x_2= x_3,x_3=x_4,x_4\neq x_1$。由前三个约束条件可以推出 $x_1=x_2=x_3=x_4$，然而最后一个约束条件却要求 $x_1\neq x_4$，因此不可被满足。

【数据范围】

所有测试数据的范围和特点如下表所示：

勘误：测试点 $8 \sim 10$ 的 $i, j$ 约束为 $1 \leq i, j \leq 10^9$，而不是下图中的 $10^{10}$。

题解

  • 可使用并查集处理相等关系 再检查所有不等关系 看二者之间是否会发生冲突
  • 现在的问题是元素数量太多 有e9的数量级
  • 但我们注意到题中的约束数量是e5
  • 也就意味着有约束的数实际上最多只有2e5个
  • 读入它们 排序去重 将原来的位置映射为新的“紧一些”的数组中的位置 再对它们使用并查集处理 这样就实现了数据量的减小

启发

  • 当题目的数据量“看似”很大时 我们也许要观察题目“实际上”需要关心的是哪些数 再进行离散化处理

代码与注释

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// 注意到本题中i j的规模达到1e9
// 约束条件的个数却是1e5 即最多涉及约束的数字有2e5个
// 这意味着大量的数涉及不到 可进行离散化节省空间后使用并查集
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define MAXN 100010 // 询问次数的最大值
int n, btop, ctop, T;
struct node {
    int x, y, z;
} a[MAXN];
int b[MAXN*2], c[MAXN*2];
int fa[MAXN*2];
int find(int x) { // 并查集
    if(fa[x] == x) return x;
    return fa[x] = find(fa[x]); // 注意到我们只需要利用最早的祖先 
    // 为避免其变为长链 增大查找负担 每次查找到它最早的祖先后将它的爸爸改为最早祖先
}
void merge(int x, int y) {
    x = find(x), y = find(y);
    if (x!=y) fa[x] = y; // 一个人的祖先屈尊给另一个人祖先当儿子 两个族谱就合并啦！
}
int main() {
    scanf("%d", &T);
    while(T--) {
        scanf("%d", &n);
        btop = 0, ctop = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            scanf("%d%d%d", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].z);
            b[++btop] = a[i].x, b[++btop] = a[i].y;
        }
        sort(b+1, b+btop+1);
        for(int i=1; i<=btop; i++) {
            if(b[i]!=b[i-1] || i==1) {
                c[++ctop] = b[i];
            }
        }
        // 将原来的位置映射到排序后的位置 使得空间贴紧缩小
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            a[i].x = lower_bound(c+1, c+ctop+1, a[i].x) - c;
            a[i].y = lower_bound(c+1, c+ctop+1, a[i].y) - c;
        }
        for(int i=1; i<=ctop; i++) fa[i] = i;
        for(int i=1; i<=n; i++) { // 将具有相等关系的在并查集中合并
            if(a[i].z) merge(a[i].x, a[i].y);
        }
        bool mk = true;
        for(int i=1; i<=n; i++) {
            if(!a[i].z) 
                if(find(a[i].x) == find(a[i].y)) {
                    mk = false;
                    break;
                }
        }
        printf("%s\n", mk ? "YES" : "NO");
    }
    return 0;
}