题目描述

小T 是一名质量监督员，最近负责检验一批矿产的质量。这批矿产共有 $n$ 个矿石，从 $1$ 到 $n$ 逐一编号，每个矿石都有自己的重量 $w_i$ 以及价值 $v_i$ 。检验矿产的流程是：

  1. 给定$ m$ 个区间 $[l_i,r_i]$；
  2. 选出一个参数 $W$；
  3. 对于一个区间 $[l_i,r_i]$，计算矿石在这个区间上的检验值 $y_i$：

$$y_i=\sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W] \times \sum\limits_{j=l_i}^{r_i}[w_j \ge W]v_j$$

其中 $j$ 为矿石编号。

这批矿产的检验结果 $y$ 为各个区间的检验值之和。即：$\sum\limits_{i=1}^m y_i$

若这批矿产的检验结果与所给标准值 $s$ 相差太多，就需要再去检验另一批矿产。小T 不想费时间去检验另一批矿产，所以他想通过调整参数 $W$ 的值，让检验结果尽可能的靠近标准值 $s$，即使得 $|s-y|$ 最小。请你帮忙求出这个最小值。

输入格式

第一行包含三个整数 $n,m,s$，分别表示矿石的个数、区间的个数和标准值。

接下来的 $n$ 行，每行两个整数，中间用空格隔开，第 $i+1$ 行表示 $i$ 号矿石的重量 $w_i$ 和价值 $v_i$。

接下来的 $m$ 行，表示区间，每行两个整数，中间用空格隔开，第 $i+n+1$ 行表示区间 $[l_i,r_i]$ 的两个端点 $l_i$ 和 $r_i$。注意：不同区间可能重合或相互重叠。

输出格式

一个整数，表示所求的最小值。

输入输出样例 #1

输入 #1

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5 3 15 
1 5 
2 5 
3 5 
4 5 
5 5 
1 5 
2 4 
3 3

输出 #1

1
10

说明/提示

【输入输出样例说明】

当 $W$ 选 $4$ 的时候，三个区间上检验值分别为 $20,5 ,0$ ，这批矿产的检验结果为 $25$，此时与标准值 $S$ 相差最小为 $10$。

【数据范围】

对于 $10%$ 的数据，有 $1 ≤n ,m≤10$；

对于 $30%$ 的数据，有 $1 ≤n ,m≤500$ ；

对于 $50%$ 的数据，有 $1 ≤n ,m≤5000$ ；

对于 $70%$ 的数据，有 $1 ≤n ,m≤10,000$ ；

对于 $100%$ 的数据，有 $1 ≤n ,m≤200,000$ ，$0 < w_i,v_i≤10^6$，$0 < s≤10^{12}$，$1 ≤l_i ≤r_i ≤n$ 。

题解

二分答案

  • 中括号表示：符合括号里的表达式就取1 否则取0
  • 考虑到W越大计算出的y就越小 W越小y越大
  • 本题可采用二分答案区间来二分地舍弃掉不可能的区间
  • 取区间中点计算出y 如果太大 说明左边一半区间算出的y只会误差更大 故可以舍弃左边一半区间
  • 反之亦然
  • 最初答案区间:
    • 由w[i] > 0, 将左端点定为1
    • 由w[i] <= 1e6, 将右端点定为2e6 + 10, 再大则没有必要

前缀和优化

  • 本题涉及m次区间查询 可使用前缀和提升查询效率
  • 根据每一个W计算一次前缀和 注意每次更新前缀和数组

代码与注释

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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
// 二分答案代替普通的枚举法
// 如果算出来y太大了就增大W（舍弃掉那一半可能使y更大的区间） 反之亦然
#define int long long // 防爆
int n, m, s;
const int N = 2e5 + 10;
int w[N], v[N];
int l[N], r[N];
int sw[N], sv[N];
int get_y(int W);
signed main() {
    scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &s);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%lld%lld", &w[i], &v[i]);
    }
    for(int i=0; i<m; i++) {
        scanf("%lld%lld", &l[i], &r[i]);
    }
    int ll = 1;
    int rr = 2e6+10;
    // 左闭右开
    int res = 0, ans = s;
    while (ll < rr-1) {
        int mid = ll + (rr-ll) / 2;
        res = get_y(mid);
        ans = min(ans, llabs(s-res)); // 记录可能答案区间内最小的误差
        if(res < s) rr = mid;
        else if(res > s) ll = mid;
        else break;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}
int get_y(int W) {
    int y = 0;
    memset(sw, 0, sizeof sw);
    memset(sv, 0, sizeof sv);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        if(w[i] > W) {
            sw[i] = sw[i-1] + 1;
            sv[i] = sv[i-1] + v[i];
            continue;
        }
        sw[i] = sw[i-1], sv[i] = sv[i-1];
    }
    for(int i=0; i<m; i++) {
        y += (sw[r[i]]-sw[l[i]-1]) * (sv[r[i]]-sv[l[i]-1]);
    }
    return y;
}